Clasificación de las Matemáticas

Vie, 08/02/2013 - 10:20 -- incytde
Tema: 

William Adolfo Polanco Anzueto

InCyTDe

wapolanco@incytde.org

Proyección Estereográfica

Contrariamente a la percepción común, las matemáticas no consisten en solo números o en resolver ecuaciones, hay ramas de las matemáticas que se ocupan de la creación de ecuaciones, o el análisis de sus soluciones, y hay partes de las matemáticas dedicadas a la creación de métodos para hacer cálculos. Además hay partes de las matemáticas que no tienen nada que ver con números y ecuaciones.

Las áreas que considera la UNESCO[1] de las matemáticas, está basado en un sistema de clasificación de trabajos de investigación y tesis doctorales. Hay tres versiones del sistema, ofreciendo diferentes niveles de refinamiento a través de códigos de dos, cuatro y seis dígitos. “Las divisiones mayores se codifican con dos dígitos y se denominan campos; los campos contienen varias disciplinas, codificadas con cuatro dígitos; éstas a su vez incluyen subdisciplinas, codificadas con seis dígitos”[2].

Atendiendo la nomenclatura de la UNESCO para los campos de la ciencia y la tecnología (campo: código de dos cifras, asignado el 12 a matemáticas) las áreas temáticas de las matemáticas (disciplinas, codificadas con cuatro dígitos) son:

  • 1201 Álgebra
  • 1202 Análisis y análisis funcional
  • 1203 Ciencias de la computación
  • 1204 Geometría
  • 1205 Teoría de números
  • 1206 Análisis numérico
  • 1207 Investigación de operaciones
  • 1208 Probabilidad
  • 1209 Estadística
  • 1210 Topología
  • 1299 Otras especialidades matemáticas

Algunas de las subdisciplinas correspondientes son:

1201. Álgebra.

  • 120101. Geometría algebraica.
  • 120102. Teor. axiomática de Conj.
  • 120103. Teoría de categorías.
  • 120104. Álgebra diferencial.
  • 120105. Cuerpos, anillos y álgebras.
  • 120106. Grupos.
  • 120107. Álgebra homológica.
  • 120108. Retículos.
  • 120109. Álgebras de Lie.
  • 120110. Álgebra lineal.
  • 120111. Teoría de matrices.
  • 120112. Álgebras no asociativas.
  • 120113. Polinomios.
  • 120114. Teoría de la representación.
  • 120199. Otras especialidades
    pertenecientes al álgebra

1205 Teoría de números

  • 120501 T. algebraica de los num.
  • 120502 T. Analitica de los num.
  • 120503 Problemas diofantinos
  • 120504 Teor. Elemental de num.
  • 120505 Geom.de los números
  • 120599 otras especialidades

1202. Análisis  y análisis funcional.

  • 120201. Álgebra de operadores.
  • 120202. Teoría de la aproximación.
  • 120203. Álgebras y espacios de Banach.
  • 120204. Cálculo de variaciones.
  • 120205. Análisis combinatorio.
  • 120206. Convexidad y desigualdades.
  • 120207. Ecuaciones diferenciales.
  • 120208. Ecuaciones funcionales.
  • 120209. Funciones de una variable compleja.
  • 120210. Funciones de variable real.
  • 120211. Funciones de varias variables compl.
  • 120212. Análisis global.
  • 120213. Análisis armónico.
  • 120214. Espacios de Hilbert.
  • 120215. Ecuaciones integrales.
  • 120216. Transformadas integrales.
  • 120217. Medida, integración y área.
  • 120218. Cálculo operacional.
  • 120219. Ecuaciones diferenciales ordinarias.
  • 120220. Ecua. Dif. en derivadas parciales.
  • 120221. Teoría del potencial.
  • 120222. Series y sumabilidad.
  • 120223. Funciones especiales.
  • 120224. Funciones subarmónicas.
  • 120225. Espacios lineales topológicos.
  • 120226. Series e integrales trigonométricas.
  • 120299. Otras especialidades

1204 Geometría

  • 120401 Geometría afín
  • 120402 Variedades compl.
  • 120403 Dominios convexos
  • 120404 Geometría Dif.
  • 120405 Probl. de contorno
  • 120406 Geometría euclidea
  • 120407 Geometría finita
  • 120408 Fund. de geometría
  • 120409 Geom. no euclidea
  • 120410 Geometría proyectiva
  • 120411 Geom. de Riemann
  • 120412 Análisis tensorial
  • 120499 Otras especialidades

1208 Probabilidad

  • 120801 Matemáticas actuariales
    (mercantiles)
  • 120802 Teoría analítica de la
    probabilidad
  • 120803 Aplicación de la
    probabilidad
  • 120804 Fundamentos de la
    probabilidad
  • 120805 Teoremas del limite
  • 120806 Procesos de Markov
  • 120807 Plausibilidad
  • 120808 Procesos estocásticos
  • 120809 Probabilidad subjetiva
  • 120899 otras especialidades

1206 Análisis numérico

  • 120601 Construcción de algoritmos
  • 120602 Ecuaciones diferenciales
  • 120603 Análisis de errores
  • 120604 Ecuaciones funcionales
  • 120605 Ecuaciones integrales
  • 120606 Ecuac. integro-diferenciales
  • 120607 Interpolación, aproximación y
    ajustes de curvas
  • 120608 Métodos iterativos
  • 120609 Ecuaciones lineales
  • 120610 Matrices
  • 120611 Diferenciación numérica
  • 120612 Ecuac. Dif. ordinarias
  • 120613 Ec. Dif. en Deriv. Parciales
  • 120614 Cuadraturas
  • 120699 otras especialidades

1209 Estadística

  • 120901 Estadística analítica
  • 120902 Computación en estadística
  • 120903 Análisis de datos
  • 120904 Teoría y procesos de decisión
  • 120905 Análisis y diseño de experiment.
  • 120906 Mét. Distrib. libre y no paramét.
  • 120907 Teor. de la distrib. y probab.
  • 120908 Fund. de la inferencia estadística
  • 120909 Análisis multivariante
  • 120910 Teoría y técnicas de muestreo
  • 120911 Teoría estocástica y análisis de
    series temporales
  • 120912 Téc. de asociación estadística
  • 120913 Téc. de inferencia estadística
  • 120914 Téc. de predicción estadística
  • 120915 Series temporales
  • 120999 otras especialidades

1210 Topología

  • 121001 Espacios abstractos
  • 121002 Cohomología
  • 121003 Variedades diferenciales
  • 121004 Espacios fibrados
  • 121005 Topología general
  • 121006 Homología
  • 121007 Homotopía
  • 121008 Grupos de Lie
  • 121009 Topología lineal de entornos
  • 121010 Topología cuasilineal
  • 121011 Topología tridimensional
  • 121012 Grupos topológicos
  • 121013 Dinámica topológica
  • 121014 Recubrimientos topológicos
  • 121015 Variedades topológicas
  • 121016 Grupos de transformac.
  • 121099 otras especialidades

La descripción del campo de acción de las áreas en matemáticas, rebasa este artículo, pero mencionaré algunos de los contenidos que las conforman[3]:

1201 Álgebra Grupos de permutaciones, aquellos en los que los elementos son permutaciones de un conjunto, y la operación del grupo es simplemente una composición. Anillos conmutativos y álgebras son conjuntos como el conjunto de los números enteros, lo que permite la adición y multiplicación (conmutativa). De particular interés son varias clases de anillos de interés en la teoría de números, teoría de campo, geometría algebraica, y áreas relacionadas, sin embargo, otros tipos de anillos de surgir, y una teoría rica estructura surge de analizar los anillos conmutativos en general, utilizando los conceptos de los ideales, localizaciones y álgebra homológica. Grupos de Lie son una importante rama especial de la teoría de grupos. Tienen estructura algebraica, tienen una geometría, por lo que es posible hacer análisis en ellos (por ejemplo, resolver ecuaciones diferenciales). los grupos de Lie y otros grupos topológicos se encuentran en la confluencia de las diferentes áreas de la matemática pura.
1202 Análisis y Análisis Func. Funciones reales son las que se estudian en las clases de cálculo, la atención se centra en las derivadas e integrales, y las desigualdades generales. Ecuaciones diferenciales ordinarias son ecuaciones a resolver en la que el elemento desconocido es una función, en vez de un número, y en el que la información conocida que se refiere a la función de sus derivados. Pocas de tales ecuaciones admiten una respuesta explícita, pero hay una gran cantidad de información cualitativa que describe las soluciones y su dependencia de la ecuación de definición. Hay muchas clases importantes de las ecuaciones diferenciales cuya información detallada se encuentra disponible. Aplicaciones a la ingeniería y las ciencias abundan. Soluciones numéricas están estudiando activamente. Las ecuaciones diferenciales parciales comienzan con la misma formulación de las ecuaciones diferenciales ordinarias, excepto que las funciones que se han encontrado son funciones de varias variables. Una vez más, uno generalmente busca declaraciones cualitativas sobre la solución. Por ejemplo, en muchos casos, las soluciones existen sólo si algunos de los parámetros se encuentran en un conjunto específico (por ejemplo, el conjunto de los enteros). Esta área tiene una estrecha relación con las ciencias físicas, la física en particular, termodinámica y la mecánica cuántica. Teoría de la medida y la integración es el estudio de longitudes, superficies, volúmenes y en los espacios generales. Esta es una característica fundamental de un desarrollo completo de la teoría de la integración y, además, proporciona el marco básico para la teoría de la probabilidad. Teoría de la medida es un lugar de encuentro entre la aplicabilidad de funciones reales y las posibilidades de la teoría de conjuntos. Este es el ajuste de los fractales. Análisis funcional ve el panorama general de las ecuaciones diferenciales, por ejemplo, pensando en un operador diferencial lineal como un mapeo en un gran conjunto de funciones. Así, esta zona se convierte en el estudio de los espacios vectoriales (de dimensión infinita) con algún tipo de estructura métrica o de otro tipo, incluidas las estructuras de anillo (álgebras de Banach y C* álgebras por ejemplo). Generalizaciones apropiadas de medida, los derivados, y la dualidad también pertenecen a esta área.
1204 Geometría Se estudia desde muchos puntos de vista. Esta gran área incluye la geometría clásica euclidiana y sintéticas (no euclidianas), geometría analítica, geometría de incidencia (incluyendo planos proyectivos); propiedades métricas (longitudes y ángulos) y geometrías combinatorias como las que surgen en la teoría de grupos finitos. La geometría diferencial es el lenguaje de la física moderna, por lo general, se considera que son conjuntos de colectores (es decir, a nivel local se asemejan espacio euclidiano) y que están equipadas con una medida de distancias. En particular, esto incluye los estudios clásicos de la curvatura de las curvas y superficies, cuestiones globales a menudo invocan la topología algebraica.
1206 Análisis Numérico El análisis numérico implica el estudio de los métodos de cálculo de los datos numéricos. En muchos de los problemas que implica la producción de una secuencia de aproximaciones, por lo que las preguntas involucran la tasa de convergencia, la precisión (o validez) de la respuesta, y la exhaustividad de la respuesta (con muchos problemas, es difícil decidir a partir de la terminación de un programa si existen otras soluciones). Dado que muchos de los problemas a través de las matemáticas puede ser reducido al álgebra lineal, esto también se estudia numéricamente, aquí hay problemas significativos con la cantidad de tiempo necesario para procesar los datos iniciales. Soluciones numéricas a las ecuaciones diferenciales no requieren la determinación de unos pocos números, sino de una función entera y, en particular, la convergencia debe ser juzgada por algún criterio global. Otros temas incluyen la simulación numérica, optimización y análisis gráfico y el desarrollo del código de trabajo robusto. Aproximaciones y expansiones se refieren principalmente a la aproximación de las clases de funciones reales de funciones de tipos especiales. Esto incluye aproximaciones de funciones lineales, polinomios (no sólo los polinomios de Taylor), funciones racionales, y así sucesivamente; aproximaciones por polinomios trigonométricos, como en el análisis de Fourier. Los temas incluyen los criterios de bondad de ajuste, límites de error, la estabilidad en el cambio de aproximación de familia, y la preservación de las características funcionales (por ejemplo, diferenciabilidad) en el marco de aproximación. Las técnicas efectivas para tipos específicos de aproximación también es apreciada. Este es también el área que cubre la interpolación y splines.
1210 Topología La topología estudia a los conjuntos sobre los que se tiene una noción de "cercanía" lo suficiente para decidir qué funciones definidas en él son continuas. Por lo tanto, es una especie de geometría generalizada (donde esferas y cubos, por ejemplo, podríamos considerar que son "lo mismo"). La topología algebraica estudia objetos algebraicos unidos a los espacios topológicos, los invariantes algebraicos reflejan parte de la estructura topológica de los espacios. El uso de estas herramientas algebraicas llama la atención sobre algunos tipos de espacios topológicos que están bien modelados por el álgebra, lo que da lugar a la teoría de homotopía.

Con el esbozo anterior de qué comprenden las matemáticas, estimado lector cuando le pregunten, ¿te gustan las matemáticas?, Ud. puede responder, con toda propiedad con otra pregunta, ¿A qué clase de ellas se refiere?

Para mayor profundidad en las áreas de las matemáticas, puede seguir las referencias.

[1] Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura
[2] http://enciclopedia.us.es/index.php/Clasificación_Unesco_12_Matemáticas
[3] http://www.math.niu.edu

Galería: 

Comentarios